Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直線l交橢圓C與P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若k=1，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（

2

，1），直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，求橢圓方程；
（Ⅱ）若k=

1

2

，b=1，且k_OP，k，k_OQ成等比數(shù)列，求三角形OPQ面積S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

2 a2 + 1 b2 =1 b=c a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)PQ直線方程為y=

x

2

+m，橢圓方程為C：

x2

a2

+y2=1，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_OP，k，k_OQ成等比數(shù)列，則

y1

x1

•

y2

x2

=k2，由此能求出三角形OPQ面積S的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），
k=1，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（

2

，1），直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，
∴

2 a2 + 1 b2 =1 b=c a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)PQ直線方程為y=

x

2

+m，橢圓方程為C：

x2

a2

+y2=1，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_OP，k，k_OQ成等比數(shù)列，
則

y1

x1

•

y2

x2

=k2，
化簡，得x₁+x₂=-2m，
將y=

x

2

+m代入

x2

a2

+y2=1，化簡，得(1+

a2

4

)x2+a2mx+a2(m2-1)=0，
x1+x2=

-a2m

1+ a2 4

=-2m，解得a²=4，
x1x2=2(m2-1)，
S△OPQ=

1

2

|m|•|x1-x2|=

m2(2-m2)

≤1，取等號m²=1要舍去，
∴0＜S_△OPQ＜1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．