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已知f(x)在R上是增函數，且f(k·3x)－f(9x－3x+2)＜0對任意的x∈R都成立，求實數k的取值范圍.

解:由已知f(k·3x)＜f(9x－3x+2)對x∈R恒成立.

∵f(x)在R上是增函數,

∴只要k·3x＜9x－3x+2對x∈R恒成立.

方法一:令t=3x，則t＞0，上式等價于g(t)=t2－(k+1)t+2＞0

對t∈(0，+∞)恒成立.

根據二次函數的圖象性質得或

即或

∴k＜2－1.

方法二:分離常數k得k＜3x+－1對一切x∈R恒成立.

令h(x)=3x+－1,只要k＜h(x)的最小值.

∵h(x)=3x+－1≥2－1=2－1,

∴h(x)的最小值為2－1.

∴k＜2－1.

故所求k的取值范圍是(－∞，2－1).

點評:對于沒有給出具體解析式的抽象函數f(x)，如果知其單調性，就可以脫去函數值不等式中的函數符號；本題還充分說明了二次函數圖象和性質的工具性作用；對于不等式恒成立問題，分離常數并構造函數求出其最值來確定常數取值范圍不失為一個簡單有效的方法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)在R上是增函數且a+b＞0，則

A.f(a)+f(b)＞f(－a)+f(－b)                                                   B.f(a)+f(b)＜f(－a)+f(－b)

C.f(－a)+f(a)＞f(－b)+f(b)                                                   D.f(－a)+f(a)＜f(－b)+f(b)

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)在R上是減函數，且它的反函數為f-1(x),如果A(-2,1)與B（2,-3）是y=f(x)圖象上的兩點，則不等式|f-1()|＜2的解集是(    )

A.｛x|x＞｝                                     B.｛x|0＜x＜｝

C.｛x|x＜0｝                                       D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題正確的是

A．函數y=2x2+x+1在(0，+∞)上不是增函數

B．函數y=在(-∞，-1)∪(-1，+∞)上是函數

C．函數y=(x2-4x-5)的單調增區(qū)間為(-∞，2)

D．已知f(x)在R上是增函數，若a+b＞0，則有f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b)

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年安徽省無為縣四高三考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）設函數f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．

(1)已知f(x)在R上是單調函數，求a的取值范圍；

(2)若a＝2，且當x∈[1,2]時，f(x)≤m恒成立，求實數m的取值范圍．

 

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