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2.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在x軸上,M是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),并且|F1M|:|F1F2|=|F1F2|:|F2M|,直線l:y=x截橢圓所得的弦長(zhǎng)是2.求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 設(shè)橢圓的方程為x2a2+y22=1(a>b>0),將直線y=x代入橢圓方程,求得交點(diǎn),運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,再由條件可得4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程.

解答 解:設(shè)橢圓的方程為x2a2+y22=1(a>b>0),
直線y=x代入橢圓方程,可得x=±aba2+2,
交點(diǎn)為(aba2+2,aba2+2),(-aba2+2,-aba2+2),
弦長(zhǎng)為22aba2+2=2,
即有a2+b2=2a2b2,
又|F1M|:|F1F2|=|F1F2|:|F2M|,
可得4c2=(a-c)(a+c)=a2-c2
即a2=5c2,a2-b2=c2,
解得a2=98,b2=910,
即有橢圓方程為8x29+10y29=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立,求得交點(diǎn),運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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