Question

已知數(shù)列的前項和為，，且（為正整數(shù)）

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）對任意正整數(shù)，是否存在,使得恒成立？若存在，求是實數(shù)的最大值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，的最大值為1.

【解析】

試題分析：（1）由①得：②，①-②得，化簡得，易得，所以數(shù)列是首項為1，公比的等比數(shù)列，繼而求出數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）知，由題知，對于易得其為單調(diào)遞減的，所以當(dāng)時，取最小值，繼而求出的的最大值.

 

（1）因 ①

時， ②

由① - ②得,

又得，

故數(shù)列是首項為1，公比的等比數(shù)列,

（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的實數(shù)，由（1）知

由題意知，對任意正整數(shù)恒有，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增,

所以，當(dāng)時數(shù)列中的最小項為，則必有，即實數(shù)最大值為1.

考點：數(shù)列的通項公式；數(shù)列的最值；數(shù)列中的恒成立.