Question

設(shè)二次函數(shù)，對任意實數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足.

（1）求函數(shù)的解析式和值域；

（2）證明：當時，數(shù)列在該區(qū)間上是遞增數(shù)列；

（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：解析：（1）由恒成立等價于恒成立，

從而得：，化簡得，從而得，所以，

其值域為.                                      

（2）解：  

，                                                       …………8分

從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.

（3）由（2）知，從而；

，即；

令，則有且；            

從而有，可得，所以數(shù)列是為首項，公比為的等比數(shù)列，

從而得，即，

所以 ，

所以，所以，

所以，

.

即，所以，恒成立。

（1）       當為奇數(shù)時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。

（2）       當為偶數(shù)時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。

所以，對任意，有。又非零整數(shù)，