分析:(1)利用
a1=1,an+1=(n∈N+),n分別取2,3,4,可求出a
2,a
3,a
4,并由此猜想數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:①
當n=1時,a1==1,猜想成立;②假設(shè)當n=k時成立,利用
an+1=(n∈N+),可證得當n=k+1時猜想也成立,故可得結(jié)論.
解答:解:(1)∵
a1=1,an+1=(n∈N+).
∴
a2==….(1分)
a3==…(2分)
a4==…(3分)
由此猜想數(shù)列{a
n}的通項公式
an=(n∈N+)…..(5分)
(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當n=1時,
a1==1,猜想成立…..(6分)
②假設(shè)當n=k(k∈N
+,k≥1)猜想成立,即
ak=….(7分)
∵
an+1=(n∈N+).…(8分)
∴
ak+1===…(12分)
即當n=k+1時猜想也成立…..(13分)
根據(jù)①和②,可知猜想對任何n∈N
+都成立…..(14分)
(用其他方法正確證明也給分)
點評:本題以數(shù)列遞推式為載體,考查數(shù)列的通項的猜想與證明,解題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明,尤其第二步的證明.