Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2 ．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對于任意a∈[4，10]，x1 ， x2∈[1，2]，恒有| |≤ 成立，試求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣（a+2）+2x= ，

a≤0時，函數在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

0＜a＜2時，函數在（0， ），（1，+∞）遞增，在（ ，1）遞減，

a=2時，函數在（0，+∞）遞增，

a＞2時，函數在（0，1），（ ，+∞）遞增，在（1， ）遞減

（2）解：| |≤ 成立，

即|f（x1）﹣f（x2）|≤λ| ﹣ |恒成立，

不妨設x2＞x1，∵a∈[4，10]時，f（x）在[1，2]遞減，

則f（x1）﹣f（x2）≤λ（ ﹣ ），得f（x1）﹣ ≤f（x2）﹣ ，

設g（x）=f（x）﹣ =alnx﹣（a+2）x+x2﹣ ，

故對于任意的a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，x2＞x1，g（x1）≤g（x2）恒成立，

故g（x）=f（x）﹣ 在[1，2]遞增，

g′（x）= ≥0在x∈[1，2]恒成立，

故2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

即a（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

∵x∈[1，2]時，﹣x2+x≤0，

∴只需10（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

即2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，

設h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，則h（2）=﹣12+λ≥0，

故λ≥12，

故實數λ的范圍是[12，+∞）

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區(qū)間即可；（2）問題轉化為2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，根據x的范圍得2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，設h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，根據函數的性質求出λ的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．