Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），且離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的性質(zhì)及e=

c

a

，b²=a²-c²即可得出；
（II）分直線MN的斜率存在于不存在討論，當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距是c．依題意，得 c=1．
因?yàn)闄E圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
故橢圓C的方程為 

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，顯然y₀=0．
當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由 

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

消去y整理得 （3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為Q（x₃，y₃），
則 x1+x2=

8k2

3+4k2

．
所以 x3=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y3=k(x3-1)=

-3k

3+4k2

．
線段MN的垂直平分線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)．
在上述方程中令x=0，得y0=

k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．
當(dāng)k＜0時(shí)，

3

k

+4k≤-4

3

；當(dāng)k＞0時(shí)，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y0＜0，或0＜y0≤

3

12

．
綜上：y₀的取值范圍是[-

3

12

，

3

12

]．

點(diǎn)評：本題中考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論思想方法、推理能力、計(jì)算能力．