Question

已知函數，，函數的圖象在點處的切線平行于軸．
（1）確定與的關系；
（2）試討論函數的單調性；
（3）證明：對任意，都有成立。

Answer 1

（1）（2）當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增（3）見解析

（1）依題意得，則
由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴-------------------------------------3分
（2）由（1）得----------4分
∵函數的定義域為
∴當時，在上恒成立，
由得，由得，
即函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；----------------5分
當時，令得或，
若，即時，由得或，由得，
即函數在，上單調遞增，在單調遞減；---------6分
若，即時，由得或，由得，
即函數在，上單調遞增，在單調遞減；------------7分
若，即時，在上恒有，
即函數在上單調遞增， -----------------8分
綜上得：當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，
當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．
（3）證法一：由（2）知當時，函數在單調遞增，，即，------------11分
令，則，-------------------------------------12分

即--------14分
證法二：構造數列，使其前項和，
則當時，，-------11分
顯然也滿足該式，
故只需證-------------------12分
令，即證，記，
則，
在上單調遞增，故，
∴成立，

即． -14分