Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

（c為常數(shù)，c≠1，n∈N⁺），且a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列．
（1）求c的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為c的等比數(shù)列，記hn=(-1)n-1anbn，求數(shù)列{h_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由已知可求S₂，S₃，進(jìn)而求出a₂，a₃，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求
（2）由（1）可知

Sn+1

Sn

=

n+c

n

=

2+n

n

，利用疊乘法即可求解S_n，然后根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，n=1時，a₁=S₁，可求
（3）由題意可求h_n，結(jié)合數(shù)列的通項的特點考慮利用錯位相減求解數(shù)列的和

解答：解：（1）∵S₁=1，

Sn+1

Sn

=

n+c

n

∴S₂=1+c，S₃=

(1+c)(2+c)

2

∴a₂=c，a₃=

c+c2

2

∵a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列
∴2a₂=a₁+a₃
∴2c=1+

c+c2

2

解可得，c=1（舍）或c=2
（2）∴

Sn+1

Sn

=

n+c

n

=

2+n

n

∴

S2

S1

•

S3

S2

…

Sn

Sn-1

=

3

1

•

4

2

…

n+1

n-1

則

Sn

S1

=

n(n+1)

2

∴Sn=

1

2

n(n+1)
∵a₁=S₁=1
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n(n+1)-

1

2

n(n-1)=n
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1也適合上式
故a_n=n
（3）由題意可得bn=2n-1，hn=(-1)n-1anbn=（-1）^n-1•n•2^n-1=n•（-2）^n-1
∴T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+…+n•（-2）^n-1
-2T_n=1•（-2）+2•（-2）²+…+（n-1）（-2）^n-1+n•（-2）ⁿ
兩式相減可得，3T_n=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ
=

1-(-2)n

1+2

-n•（-2）ⁿ
∴Tn=

1-(-2)n

9

-

n•(-2)n

3

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的 通項公式，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及疊乘法的應(yīng)用，還考查了錯位相減求解數(shù)列的和，是數(shù)列知識的綜合應(yīng)用