Question

【題目】設是定義在D上的函數(shù),若對D中的任意兩數(shù)),恒有,則稱為定義在D上的C函數(shù).

(1)試判斷函數(shù)是否為定義域上的C函數(shù),并說明理由;

(2)若函數(shù)是R上的奇函數(shù),試證明不是R上的C函數(shù);

(3)設是定義在D上的函數(shù),若對任何實數(shù)以及D中的任意兩數(shù)),恒有,則稱為定義在D上的π函數(shù). 已知是R上的π函數(shù),m是給定的正整數(shù),設,且,記. 對于滿足條件的任意函數(shù),試求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3) 的最大值為.

【解析】試題分析：(1)證明是否成立,即可得出結論；(2)假設是R上的C函數(shù),取, 則有,結合奇函數(shù)可得,是同理可得,則推出矛盾；(3)對任意,取.由題意, = ≤=,則.

試題解析：(1) 是C函數(shù),

證明如下:對任意實數(shù)),

有==.

即， 是C函數(shù).

(2)假設是R上的C函數(shù),取,

則有.

是奇函數(shù)，所以，所以. (*)

同理,取,可證.與(*)式矛盾.

不是R上的C函數(shù).

(3)對任意,取.

是R上的函數(shù), ,且

= =.

那么= .

可證是函數(shù),且使得都成立，此時.

綜上所述, 的最大值為.