Question

設(shè)二次函數(shù)滿足條件：①；②函數(shù)的圖像與直線相切．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：由的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是，于是有，依題意，方程組有且只有一解，利用即可求得與，從而得函數(shù)的解析式；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，知在時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由即可求得答案．

試題解析：（1）由①可知，二次函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)軸方程是，；

又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與直線相切，所以方程組有且只有一解，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，，

所以，函數(shù)的解析式是．

（2），等價(jià)于，

即不等式在時(shí)恒成立，

問(wèn)題等價(jià)于一次函數(shù)在時(shí)恒成立，

即，

解得：或，

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

考點(diǎn)：1、函數(shù)恒成立問(wèn)題；2、二次函數(shù)的性質(zhì)．