Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD=60°，N是PB中點，截面DAN交PC于M．
（1）求證：AD∥MN；
（2）求證：PB⊥平面ADMN；
（3）求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

解：（1）因為 AD∥BC，BC?平面PBC，所以 AD∥平面PBC，
因為 MN?平面ADMN，∴AD∥平面ADMN，N是PB中點，截面DAN交PC于M．AD，MN?平面ADMN，所以AD∥MN．

（2）取AD中點O，連接BO，PO，
所以AD⊥PO，易證AD⊥OB，
可得 AD⊥平面POB．
所以AD⊥PB，
又PB⊥AN，AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN；
（3）由（2）可知PO⊥底面ABCD，所以PO為高，．
分析：（1）先證AD∥平面PBC，后利用線面平行性質(zhì)定理即可．
（2）取AD中點O，連接BO，PO，可證AD⊥平面POB．可得AD⊥PB，再利用PB⊥AN，即可得證．
（3）先證PO為高，．
點評：本題考查直線 與平面垂直的判定，直線與直線平行，
棱錐的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．