Question

4．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，E為PB上任意一點．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）試確定點E的位置，使得四棱錐P-ABCD的體積等于三棱錐B-ACE體積的4倍．

Answer 1

分析 （1）連結AC，BD，推導出AC⊥BD，AC⊥PD，從而AC⊥平面PBD，由此能證明平面EAC⊥平面PBD．
（2）由$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{1}{4}$，能求出E為PB的中點．

解答 證明：（1）連結AC，BD，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
解：（2）∵四棱錐P-ABCD的體積等于三棱錐B-ACE體積的4倍，
∴$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{1}{4}$，
設P到平面ABCD的距離為h，
則$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{P-ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h}{\frac{1}{3}×2{S}_{△ABC}×PD}$=$\frac{h}{2PD}$=$\frac{1}{4}$，
解得h=$\frac{1}{2}$PD，
故此時E為PB的中點．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．