Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

6

sinθ•x3+

1

4

cosθ•x2+

1

2

tanθ，其中θ∈[0，

π

2

]，則導(dǎo)數(shù)f′（1）的取值范圍是

[

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用求導(dǎo)法則：（xⁿ）′=nx^n-1，以及（C）′=0（C為常數(shù)），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)數(shù)f′（1）的關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由θ的范圍求出θ+

π

6

的范圍，得到正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而得到導(dǎo)數(shù)f′（1）的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)得：f′（x）=

3

2

sinθ•x²+

1

2

cosθ•x，
把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得：f′（1）=

3

2

sinθ+

1

2

cosθ=sin（θ+

π

6

），
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（θ+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
則導(dǎo)數(shù)f′（1）的取值范圍是[

1

2

，1]．
故答案為：[

1

2

，1]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，正弦函數(shù)的值域，兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用求導(dǎo)法則求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．