Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）設函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標構成數(shù)列，求證：為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設函數(shù)的圖像的頂點到軸的距離構成數(shù)列，求的前項和．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）設函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標構成數(shù)列，求證：為等差數(shù)列，由于是二次函數(shù)，只需對配方，確定函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標，從而可求數(shù)列的通項公式，由數(shù)列的通項公式，再證明數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ））函數(shù)的圖像的頂點到軸的距離構成數(shù)列，求的前項和，先確定數(shù)列的通項公式，顯然數(shù)列是等差數(shù)列的每一項加上絕對值，像這一類題的解法，關鍵是找出變號項，進而可分段求出的前n項和．
試題解析：（Ⅰ）∵，
∴，        2分
∴，
∴數(shù)列為等差數(shù)列．               4分
（Ⅱ）由題意知，，           6分
∴當時，，
     8分
當時，，

．         10分
∴．              12分