Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）cos2x-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）-k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用周期公式求得答案．
（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移法則取得g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定2x-

π

3

的范圍，即函數(shù)y=g（x）與y=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，和三角函數(shù)圖象推斷出k的范圍．

解答： 解：（ I）f(x)=

3

sin2xcos2x+cos22x-

1

2

=

3

2

sin4x+

cos4x+1

2

-

1

2

=

3

2

sin4x+

1

2

cos4x=sin(4x+

π

6

)
由題意知f（x）的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

（ II）將f（x）的圖象向右平移個(gè)

π

8

個(gè)單位后，得到y(tǒng)=sin（4x-

π

3

）的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin（2x-

π

3

）的圖象．
所以g（x）=sin（2x-

π

3

），
因?yàn)?≤x≤

π

2

，
所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．g（x）-k=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=k在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
由正弦函數(shù)的圖象可知-

3

2

≤k≤1
綜上所述：-

3

2

≤k≤1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析和推理的能力．