Question

為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖．已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列{b_n}的前六項(xiàng)．
（Ⅰ）求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求等差數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生，試估計(jì)該校新生的近視率μ的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)×組據(jù)；頻數(shù)=頻率×樣本容量，求出等比數(shù)列的第一，二項(xiàng)，求出公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（II）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前三項(xiàng)；求出后六項(xiàng)的和；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公差；再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（III）據(jù)頻率等于樣本頻數(shù)除以樣本容量，求出近視率．
解答：解：（I）由題意知：a₁=0.1×0.1×100=1，a₂=0.3×0.1×100=3．（2分）
∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∴公比，
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1．（4分）
（II）∵a₁+a₂+a₃=13，
∴b₁+b₂+…+b₆=100-（a₁+a₂+a₃）=87，（6分）
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴設(shè)數(shù)列{b_n}公差為d，則得，
b₁+b₂+…+b₆=6b₁+15d∴6b₁+15d=87，∵b₁=a₄=27，∴d=-5，（8分）
∴b_n=32-5n（10分）
（III）μ=，
（或μ=）
答：估計(jì)該校新生近視率為91%．（14分）
點(diǎn)評：本題考查頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是、頻率=縱坐標(biāo)×組據(jù)、頻數(shù)=頻率×樣本容量；
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．