如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E 是側棱PD上一點，且PB∥平面EAC．
（Ⅰ）求證：E是PD的中點；
（Ⅱ）求證：AE⊥平面PCD．
分析：（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點，由于E是側棱PD上一點，且PB∥平面EAC，利用線面平行的性質(zhì)定理，可得線線平行，從而可得E是PD的中點；
（2）先證明CD⊥側面PAD，從而可得面PDC⊥側面PAD，進而可證AE⊥平面PCD．
解答：證明：（1）連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點
∵E是側棱PD上一點，且PB∥平面EAC，
又PB?平面PBD，EO=平面EAC∩平面PBD，
∴PB∥EO．
∵O為為BD的中點
∴E是PD的中點；
（2）∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥側面PAD
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥側面PAD
正三角形PAD中，E為PD的中點，所以AE⊥PD，
∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．
點評：本題主要考查線面平行，線面垂直的證明方法．考查學生的空間想象能力，識圖的能力，嚴密的邏輯思維能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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