Question

已知向量，．其中O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若且m＞0，求向量與的夾角；
（Ⅱ）若對任意實數(shù)α、β都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)它們的夾角為θ，利用向量的數(shù)量積公式表示出cosθ，將已知條件代入，利用特殊角的三角函數(shù)值求出兩個向量的夾角．
（II）利用向量模的坐標(biāo)公式將已知條件轉(zhuǎn)化為m²+1+2msin（β-α）≥4對任意的α，β恒成立，通過對m分類討論，求出
m²+1+2msin（β-α）的最小值，令最小值大于等于4，求出m的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)它們的夾角為θ，則
=，
故…（6分）．
（Ⅱ）由
得（mcosα+sinβ）²+（msinα-cosβ）²≥4
即m²+1+2msin（β-α）≥4對任意的α，β恒成立…（9分）
則或，
解得m≤-3或m≥3…（13分）．
點評：求向量的夾角問題，一般利用向量的數(shù)量積公式來解決；解決不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．