Question

【題目】已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（1）已知函數(shù)，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）已知函數(shù)＝和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得(x2)＝成立，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span> （2）a＝

【解析】

(1)直接根據(jù)條件寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算出的最值從而可求解出值域；

(2)將變形為，采用換元法根據(jù)已知條件求解出的值域，同時(shí)求解出的值域，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域之間的關(guān)系列出不等式組，即可求解出的值.

（1）由已知可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，

所以，又，

所以，所以，

所以在的值域?yàn)?/span>；

（2）,

設(shè)，，，則，,

由已知性質(zhì)得,當(dāng)1≤u≤2，即0≤x≤時(shí)，單調(diào)遞減,所以遞減區(qū)間為；

當(dāng)2<u≤3，即<x≤1時(shí)，單調(diào)遞增，所以遞增區(qū)間為；

由，得的值域?yàn)?/span>．

因?yàn)?/span>為減函數(shù),故，．

根據(jù)題意：的值域?yàn)?/span>的值域的子集,

從而有，所以.