【題目】如圖兩個(gè)同心球，球心均為點(diǎn)，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個(gè)球體之間的內(nèi)弦，其中兩點(diǎn)在小球上，兩點(diǎn)在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過(guò)小球內(nèi)部.當(dāng)四面體的體積達(dá)到最大值時(shí)，此時(shí)異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

首先判斷出正方體內(nèi)切球和外接球的半徑比為，內(nèi)切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例.判斷當(dāng)四面體體積最大時(shí)，的位置關(guān)系，作出異面直線所成的角，解直角三角形求得.

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，所以?xún)?nèi)切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例. 依題意最長(zhǎng)為，最長(zhǎng)為小球的直徑.由于三角形的面積，若為定值，則時(shí)面積取得最大值.畫(huà)出圖像如下圖所示，其中分別是所在正方形的中心，是正方體內(nèi)切球與外接球的球心..由于，故此時(shí)四面體的體積最大.

由于，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是異面直線和所成的角.所以由于，設(shè)是的中點(diǎn)，則，所以，所以.

故選：A

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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A. 56 B. 60 C. 120 D. 140

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（1）若直線平行于，與圓相交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程；

（2）在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

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（1）求證：平面，平面；

（2）試探究當(dāng)二面角從0°增加到90°的過(guò)程中，線段在平面上的投影所掃過(guò)的平面區(qū)域的面積；

（3）設(shè)，且為等腰三角形，當(dāng)為何值時(shí)，多面體的體積恰好為？

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（1）求橢圓的方程；

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（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

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