Question

1．已知y²=8x的焦點為F，則過F點且傾斜角為60°的直線被拋物線截得的弦長為（　�。�

• A． 8
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{32}{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點為F（2，0），直線的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，從而得到直線的方程．直線方程與拋物線方程聯解消去y得3x²-20x+12=0，利用根與系數的關系可得x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，再根據拋物線的定義加以計算，即可得到直線被拋物線截得的弦長．

解答 解：∵拋物線方程為y²=8x，2p=8，$\frac{p}{2}$=2，∴拋物線的焦點是F（2，0）．
∵直線的傾斜角為60°，∴直線斜率為k=tan60°=$\sqrt{3}$
可得直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x-2），
設直線交拋物線于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯解，消去y得3x²-20x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，
根據拋物線的定義，可得|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+2，|BF|=x₂+$\frac{p}{2}$=x₂+2，
∴|AB|=x₁+x₂+4=$\frac{32}{3}$，即直線被拋物線截得的弦長為$\frac{32}{3}$．
故選：D．

點評 本題給出經過拋物線的焦點的直線傾斜角為60°，求直線被拋物線截得的弦長．著重考查了拋物線的定義與標準方程、一元二次方程根與系數的關系、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．