Question

已知a＋lga＝10，b＋10^b＝10，則a＋b＝________．

Answer 1

答案：10
解析：

解法一：由a＋lga＝10，得lga＝10－a，a＝1010－a�、伲� 　　由b＋10b＝10，得10－b＝10b�、�， 　�、冢�①，得10－a－b＝10b－1010－a， 　　(1)若10－a－b＞0， 　　則10－a＞b，1010－a＞10b，10b－1010－a＜0， 　　從而0＜10－a－b＝10b－1010－a＜0，顯然矛盾； 　　(2)若10－a－b＜0， 　　則10－a＜b，1010－a＜10b，10b－1010－a＞0． 　　從而0＞10－a－b＝10b－1010－a＞0，顯然矛盾． 　　因此10－a－b＝0，即a＋b＝10． 　　點(diǎn)評(píng)：本解法巧妙地把原題中的指數(shù)式與對(duì)數(shù)式全部統(tǒng)一成指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到最后結(jié)果． 　　解法二：由已知，得lga＝10－a，10b＝10－b． 　　在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝lgx，y＝10－x，y＝10x的大致圖象，設(shè)y＝lgx與y＝10－x的圖象的交點(diǎn)為A，y＝10x與y＝10－x的圖象的交點(diǎn)為B，則a為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，b為點(diǎn)B的橫坐標(biāo)． 　　由互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱知，y＝x與y＝10－x的圖象的交點(diǎn)C(5，5)為線段AB的中點(diǎn)，因此a＋b＝5×2＝10． 　　點(diǎn)評(píng)：本解法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)及互為反函數(shù)的圖象的性質(zhì)，巧妙地將“數(shù)”通過(guò)“形”直觀地展示出來(lái)，使問(wèn)題變得清晰明了． 　　解法三：由a＋lga＝10，得1010－a＝a，即1010－a＝10－(10－a)． 　　由b＋10b＝10，得10b＝10－b． 　　在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝10x，y＝10－x的大致圖象，顯然它們只有一個(gè)交點(diǎn)，即10x＝10－x有唯一的根，因此b＝10－a，即a＋b＝10． 　　點(diǎn)評(píng)：本解法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，由這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的唯一性，得到對(duì)應(yīng)的方程僅有唯一的根．在此，數(shù)形結(jié)合又一次顯示出它的強(qiáng)大作用，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易求． 　　解法四：設(shè)f(x)＝x＋lgx， 　　由a＋lga＝10，b＋10b＝10知， 　　當(dāng)x1＝a，x2＝10b時(shí)，f(x1)＝f(x2)＝10，即f(a)＝f(10b)． 　　又函數(shù)f(x)＝x＋lgx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 　　故a＝10b，從而a＋b＝10b＋b＝10． 　　點(diǎn)評(píng)：本解法是在以上三種解法的基礎(chǔ)上通過(guò)歸類統(tǒng)一而形成的． 　　數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中包括了很多學(xué)問(wèn)，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做練習(xí)時(shí)，不應(yīng)只滿足于一種解法，多思則多解．這樣，遇到具體問(wèn)題時(shí)才能做到隨機(jī)應(yīng)變，從而快速解題．