Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與該拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，則k=________．

Answer 1

分析：作出拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過(guò)B作BE⊥AC于E．由拋物線的定義結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直線AB的傾斜角為60°，從而得到直線AB的斜率k值．
解答：作出拋物線的準(zhǔn)線l：x=-，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，
連接AC、BD，過(guò)B作BE⊥AC于E
∵，∴設(shè)=m，則=3m，（m）
由點(diǎn)A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得
==m，==3m
∴=-=-=2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°
所以，直線AB的傾斜角∠AFx=60°，
得直線AB的斜率k=tan60°=
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成3：1的比，求直線的斜率k，著重考查了拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．