Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列
（2）求滿足100＜a_n＜200的{a_n}中的所有項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，求出a_n=2n+1，再由a_n+1-a_n=2，能證明{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由a_n=2n+1，100＜a_n＜200，n∈N^*，得50≤n≤99，從而滿足100＜a_n＜200的{a_n}中的所有項(xiàng)的和：S=S₉₉-S₄₉，由此利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n，
∴a₁=S₁=1+2=3，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=2n+1，
∵a_n+1-a_n=[2（n+1）+1]-（2n+1）=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列．
（2）解：∵a_n=2n+1，∴由100＜a_n＜200，得：
100＜2n+1＜200，解得49.5＜n＜99.5，
∵n∈N^*，∴50≤n≤99，
∴滿足100＜a_n＜200的{a_n}中的所有項(xiàng)的和：
S=S₉₉-S₄₉=（99×3+

99×98

2

×2）-（49×3-

49×48

2

×2）=7500．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列中n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．