Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為A，直線BC過(guò)原點(diǎn)O，且點(diǎn)B在x軸上方，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于點(diǎn)E、F．
（1）若點(diǎn)，求△ABC的面積；
（2）若點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AB與AC的斜率分別為k₁、k₂．
①試探究：k₁•k₂是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②求△AEF的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意的離心率及點(diǎn)B的坐標(biāo)，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面積；
（2）①k₁•k₂為定值，證明，由（1）得a²=2b²，即可得到結(jié)論；
②設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-a），直線AC的方程為y=k₂（x-a），令x=a+1得，求出△AEF的面積，結(jié)合①的結(jié)論，利用基本不等式，可求△AEF的面積的最小值．
解答：解：（1）由題意得
解得a²=2b²=8，
則△ABC的面積S=；
（2）①k₁•k₂為定值，下證之：
證明：設(shè)B（x，y），則C（-x，-y），且，
而
由（1）得a²=2b²，所以；
②設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-a），直線AC的方程為y=k₂（x-a），
令x=a+1得，y_E=k₁，y_F=k₂，則△AEF的面積，
因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸上方，所以k₁＜0，k₂＞0，
由得（當(dāng)且僅當(dāng)k₂=-k₁時(shí)等號(hào)成立）
所以，△AEF的面積的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的方程、橢圓的方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證的能力．