【答案】
分析:法一:(Ⅰ)證明平面PDC內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA,AD即可證明CD⊥平面PAD,從而證明平面PDC⊥平面PAD;
(Ⅱ)E是PD的中點,設(shè)CD的中點為F,連接EF、AF,說明∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角,解三角形AEF,就可求異面直線AE與PC所成角的余弦值;
(Ⅲ)過點D作DM⊥AG于M.點G在線段BC上,且
,說明線段DM的長是點D到平面PAG的距離,利用三角形面積求點D到平面PAG的距離.
法二:以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,
(Ⅰ)利用
證明CD⊥平面PAD.推出平面PDC⊥平面PAD.
(Ⅱ)利用
直接求解即可.
(Ⅲ)作DQ⊥AG于Q,說明線段DQ的長是點D到平面PAG的距離,利用2S
△ADG=S
矩形ABCD,
∴
求出點D到平面PAG的距離為1.
解答:解法一:(Ⅰ)證明:∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD.(1分)
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD.
又PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.(3分)
又∵CD?平面PDC,
∴平面PDC⊥平面PAD.(5分)
(Ⅱ)解:設(shè)CD的中點為F,連接EF、AF.
∵E是PD中點,
∴EF∥PC.
∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角.(7分)
由PA=AB=1,BC=2,計算得
,
,
,
,(9分)
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為
.(10分)
(Ⅲ)解:過點D作DM⊥AG于M.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DM.
又PA∩AG=A,
∴DM⊥平面PAG.
∴線段DM的長是點D到平面PAG的距離.(12分)
又
,
解得DM=1.
所以點D到平面PAG的距離為1.(14分)
解法二:如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0,),D(0,2,0),E(0,1,),
P(0,0,1).
∴
=(-1,0,0),
=(0,2,0),
=(0,0,1),
=(0,1,
),
=(1,2,-1).(2分)
(Ⅰ)∵
,
∴CD⊥AD.
∵
,
∴CD⊥AP.
又AP∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD.(5分)
∵CD?平面PAD,
∴平面PDC⊥平面PAD.(7分)
(Ⅱ)∵
=
,(9分)
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為
.(10分)
(Ⅲ)作DQ⊥AG于Q.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥DQ.
又PA∩AG=A,
∴DQ⊥平面PAG.
∴線段DQ的長是點D到平面PAG的距離.(12分)
∵2S
△ADG=S
矩形ABCD,
∴
,
由
,得到
.
∴點D到平面PAG的距離為1.(14分)
點評:本題考查平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.