Question

已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）點G在線段BC上，且，求點D到平面PAG的距離．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）證明平面PDC內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA，AD即可證明CD⊥平面PAD，從而證明平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）E是PD的中點，設(shè)CD的中點為F，連接EF、AF，說明∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角，解三角形AEF，就可求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）過點D作DM⊥AG于M．點G在線段BC上，且，說明線段DM的長是點D到平面PAG的距離，利用三角形面積求點D到平面PAG的距離．
法二：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
（Ⅰ）利用證明CD⊥平面PAD．推出平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）利用直接求解即可．
（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q，說明線段DQ的長是點D到平面PAG的距離，利用2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴求出點D到平面PAG的距離為1．
解答：解法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．（1分）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（3分）
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）解：設(shè)CD的中點為F，連接EF、AF．
∵E是PD中點，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角．（7分）
由PA=AB=1，BC=2，計算得，，，，（9分）
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為．（10分）
（Ⅲ）解：過點D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM．
又PA∩AG=A，
∴DM⊥平面PAG．
∴線段DM的長是點D到平面PAG的距離．（12分）
又，
解得DM=1．
所以點D到平面PAG的距離為1．（14分）
解法二：如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0，），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）．
∴=（-1，0，0），=（0，2，0），=（0，0，1），=（0，1，），=（1，2，-1）．（2分）
（Ⅰ）∵，
∴CD⊥AD．
∵，
∴CD⊥AP．
又AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（5分）
∵CD?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）

（Ⅱ）∵=，（9分）
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為．（10分）
（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ．
又PA∩AG=A，
∴DQ⊥平面PAG．
∴線段DQ的長是點D到平面PAG的距離．（12分）
∵2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴，
由，得到．
∴點D到平面PAG的距離為1．（14分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．