Question

拋物線C：y=ax²的準(zhǔn)線為y=，PM，PN切拋物線于M，N且與X軸交于A，B，|AB|=1．
（1）求a的值；
（2）求P點的軌跡．

Answer 1

解：（1）由已知：拋物線的準(zhǔn)線為y=，
∴，∴p=1…（2分）
∴拋物線為x²=2y即，
∴…（5分）
（2）設(shè)
∵，∴y′=x，∴k_PM=x₁
直線PM：，即
令y=0得即
同理PN：，…（9分）
由得
∵|AB|=1，∴，∴
∴（2x）²-8y=4即…（12分）
∴P的軌跡方程為，軌跡是一條拋物線 …（13分）
分析：（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程確定拋物線方程，即可求得a的值；
（2）先求出切線方程，得出A，B的坐標(biāo)，利用|AB|=1，可得軌跡方程，從而可得P點的軌跡．
點評：本題考查拋物線方程，考查拋物線的切線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．