Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x+1，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（1，2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：據(jù)題中函數(shù)特征，當a=0時，函數(shù)f（x）=-3x²+1顯然有兩個零點且一正一負；
分類討論的運用 當a＞0時，求導(dǎo)可得單調(diào)區(qū)間，存在負零點； 當a＜0時，求導(dǎo)可得；滿足：

f( 2 a )＞0 f(0)＞0

，即可得出答案．

解答： 解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）=-3x²+1顯然有兩個零點且一正一負；
（2）當a＞0時，求導(dǎo)可得：f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
利用導(dǎo)數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：
x∈（-∞，0）和x∈(

2

a

，+∞)時函數(shù)單調(diào)遞增； x∈(0，

2

a

)時函數(shù)單調(diào)遞減，
顯然存在負零點； 
（3）當a＜0時，求導(dǎo)可得：f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
利用導(dǎo)數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：
x∈(-∞，

2

a

)和x∈（0，+∞）時函數(shù)單調(diào)遞減； x∈(

2

a

，0)時函數(shù)單調(diào)遞增，
欲要使得函數(shù)有唯一的零點且為正，則滿足：

f( 2 a )＞0 f(0)＞0

，
即得：a×(

2

a

)3-3(

2

a

)2+1＞0，
可解得：a²＞4，則a＞2（舍去），a＜-2．
故選：D

點評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性的運用，函數(shù)的零點的判斷即應(yīng)用，屬于難題．