設(shè)f（x）=是定義在R上的函數(shù)．
（1）f（x）可能是奇函數(shù)嗎？
（2）若f（x）是偶函數(shù)，試研究其單調(diào)性．
【答案】分析：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；判斷函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義，先驗(yàn)證定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；判斷函數(shù)的單調(diào)性則一般用定義，作差法．
解答：解：（1）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，由于定義域?yàn)镽，
∴f（-x）=-f（x），
即+=-，
整理得（ex+e-x）=0，
即a+=0，即a2+1=0，顯然無解．
∴f（x）不可能是奇函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
即+=，
整理得（ex-e-x）=0，
又∵對任意x∈R都成立
∴有a-=0，得a=±1．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e-x+ex，以下討論其單調(diào)性，
任取x1，x2∈R且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=+--=（-）（1-）＞0，
其中、＞0，-＜0，
當(dāng)•=＞0時(shí)，即x1+x2＞0時(shí)，f（x1）＜f（x2），f（x）為增函數(shù)，
此時(shí)需要x1+x2＞0，即增區(qū)間為[0，+∞），反之（-∞，0]為減區(qū)間．
當(dāng)a=-1時(shí)，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，+∞]上是減函數(shù)．
點(diǎn)評：判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般作為簡單題目出現(xiàn)．
練習(xí)冊系列答案
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12、設(shè)函數(shù)y=f（x+1）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）是減函數(shù)，且圖象過點(diǎn)（1，0），則不等式（x-1）f（x）≤0的解集為（　�。�

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函數(shù)y=f（x），是定義在[a，b]上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）無零點(diǎn)，設(shè)函數(shù)F（x）=f2（x）+f2（-x），對于F（x）有如下四個(gè)說法：①定義域是[-b，b]；②是偶函數(shù)；③最小值是0；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；其中正確說法的個(gè)數(shù)有（　�。�

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設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對集合D中的任意兩數(shù)x1，x2恒有f(
1
4
x1+
3
4
x2)＜
1
4
f(x1)+
3
4
f(x2)成立，則f（x）是定義在D上的β函數(shù)．
（1）試判斷f（x）=x2是否是其定義域上的β函數(shù)？
（2）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，求證：f（x）不是定義在R上的β函數(shù)．
（3）設(shè)f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)α∈[0，1]以及集合D中的任意兩數(shù)x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）是定義在D上的α-β函數(shù)．已知f（x）是定義在R上的α-β函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，記∫=a1+a2+a3+…+am，對任意滿足條件的函數(shù)f（x），求∫的最大值．

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已知y=f（x+1）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=log2x，設(shè)a=f(
1
2
)，b=f(
4
3
)  ，  c=f(1)，則a、b、c的大小關(guān)系為（　�。�

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（2012•福建模擬）設(shè)函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x）都是定義在R上的函數(shù)，則“?x1，x2∈R，且x1≠x2，|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|”是“?x∈R，|f'（x）|＜1”的（　�。�

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