Question

對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”a*b=設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1. A.
   [0，]
2. B.
   [0，]
3. C.
   （0，]∪（1，+∞）
4. D.
   （0，）

Answer 1

D
分析：由新定義寫出分段函數(shù)f（x）=（2x-1）*（x-1）=，然后作出分段函數(shù)的圖象，關(guān)于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，是指函數(shù)y=f（x）的圖象與y=a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：由2x-1＜x-1得，x＜0．
由定義運(yùn)算a*b=，
則f（x）=（2x-1）*（x-1）==
函數(shù)f（x）=-x²+x （x＞0）的最大值是=．
函數(shù)f（x）的圖象如圖，

由圖象看出，關(guān)于x的方程f（x）=a（a∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查了分段函數(shù)的圖象，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，判斷一個(gè)方程根的個(gè)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是中檔題．