Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

(1)證明PA//平面EDB；

(2)證明PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C－PB－D的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

方法一： 　　(1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于O，連結(jié)EO． 　　∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 　　在中，EO是中位線，∴PA//EO 　　而平面EDB且平面EDB， 　　所以，PA//平面EDB ; 　　(2)證明： 　　∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴ 　　∵PD＝DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線， 　　∴.　　① 　　同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC． 　　∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC． 　　而平面PDC，∴.　　② 　　由①和②推得平面PBC． 　　而平面PBC，∴ 　　又且，所以PB⊥平面EFD; 　　(3)解：由(2)知，，故是二面角C－PB－D的平面角． 　　由(2)知，． 　　設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則， 　　， 　　． 　　在中，． 　　在中，，∴． 　　所以，二面角C－PB－D的大小為． 　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)． 　　(1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG． 　　依題意得． 　　∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且． 　　∴，這表明PA//EG． 　　而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB; 　　(2)證明；依題意得，．又，故． 　　∴． 　　由已知，且，所以平面EFD; 　　(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，，則 　　． 　　從而.所以 　　． 　　由條件知，，即 　　，解得 　　∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且， 　　∴ 　　即，故是二面角C－PB－D的平面角． 　　∵，且 　　，， 　　∴． 　　∴． 　　所以，二面角C－PB－D的大小為．