【題目】已知函數(shù)的極小值為．

（1）求實數(shù)k的值；

（2）令，當時，求證：．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得極值，由極小值為求得值；

（2）由（1）得，令，同樣由（1）可得的單調(diào)性（導數(shù)利用（1）中結(jié)論），這樣得到關(guān)于u的不等式的解集應是單調(diào)遞增區(qū)間的子集，而，從而，接著要證題中不等式，可先證，這又可設，，換元后同樣由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，證得不等式成立．

（1）顯然，，由題意得：

令得：

若，則當時，；

當時，，此時為極小值點，合題意．

由得：．

若，顯然不合題意．

所以．

（2）由題意得：，令

由（1）易知在單調(diào)遞減，且；在單調(diào)遞增

故關(guān)于u的不等式：的解集應是單調(diào)遞增區(qū)間的子集

又，從而

令

．

令，則

所以

顯然當時，；當時，

從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

所以

又，所以，從而

于是，即

又

故．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線： 與橢圓有且只有一個公共點．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；

（Ⅱ）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直線交于點，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，且

（1）設，求數(shù)列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，且，求滿足的所有正整數(shù)；

（3）若存在正整數(shù)，且，試比較與的大小，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，E為CD的中點連接AE交BD于G，點F在側(cè)棱PD上，且DFPD．

（1）求證：PB∥平面AEF；

（2）若，求三棱錐E﹣PAD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知：函數(shù)f（x）＝2lnx﹣ax2+3x，其中a∈R．

（1）若f（1）＝2，求函數(shù)f（x）的最大值；

（2）若a＝﹣1，正實數(shù)x1，x2滿足f（x1）+f（x2）＝0，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，， 平面，，，為的中點．

（1）求證：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）判斷直線與平面的位置關(guān)系，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若為正整數(shù)，函數(shù)恰好有兩個零點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在其與y軸的交點處的切線記作，曲線在其與x軸的交點處的切線記作，且.

（1）求之間的距離；

（2）若存在x使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線（），其準線方程，直線過點（），且與拋物線交于、兩點，為坐標原點.

（1）求拋物線方程，并注明：的值與直線傾斜角的大小無關(guān)；

（2）若為拋物線上的動點，記的最小值為函數(shù)，求的解析式.

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