Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A（－2，0）、B（2，0），異于A、B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)P滿足，其中k₁、k₂分別表示直線AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若N是直線x=2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與（I）中軌跡E交予點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），點(diǎn)C（1，0），求證：|CM|·|CN| 為定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)斜率公式，有斜率乘積等于整理即得，注意；（Ⅱ）設(shè)直線的方程，與橢圓方程組成方程組，消去，由韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，得，從而得到直線的方程，確定恒過(guò)的定點(diǎn).證明三點(diǎn)共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,即為定值.
試題解析：(Ⅰ)設(shè),由得  ,其中,
整理得點(diǎn)的軌跡方程為.       (4分)
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，
解方程組，消去得，
設(shè)，則，，
從而，又，

直線與以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，，
方程為,即,過(guò)定點(diǎn),        (9分)
定值證法一:即三點(diǎn)共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,為定值.                                  (12分)
定值證法二:直線:,直線:,  
聯(lián)立得,, 
,為定值.       (12分)