Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．當a取不同的值時，得到不同的數(shù)列{a_n}，如當a=1時，得到無窮數(shù)列1，3，，，…；當a=2時，得到常數(shù)列2，2，2，…；當a=-2時，得到有窮數(shù)列-2，0．
（Ⅰ）若a₃=0，求a的值；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足b₁=-2，b_n=f（b_n+1）（n∈N^*）．求證：不論a取{b_n}中的任何數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列{a_n}；
（Ⅲ）若當n≥2時，都有，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)，數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）直接求解即可，先根據(jù)a₃求出a₂，進而求出a₁．
（Ⅱ）假設a為數(shù)列b_n中的第i（i∈N^*）項，通過b_n=f（b_n+1），a_n+1=f（a_n），得到a_i+1=f（a_i）=f（-2）=0．從而得到結論．
（Ⅲ）根據(jù)，且，得到a的取值范圍，再根據(jù)當時，，確定a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為a₃=0，且，
所以a₂=-2．同理可得，即．
（Ⅱ）證明：假設a為數(shù)列b_n中的第i（i∈N^*）項，即a₁=a=b_i；則a₂=f（a₁）=f（b_i）=b_i-1；a₃=f（a₂）=f（b_i-1）=b_i-2；
a_i=f（a_i-1）=f（b₂）=b₁=-2；，即a_i+1=f（a_i）=f（-2）=0．
故不論a取b_n中的任何數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列a_n．
（Ⅲ）因為，且，
所以1＜a＜3．
又因為當時，，
即，所以當1＜a＜3時，有．
點評：本題是數(shù)列與函數(shù)的綜合題，通過函數(shù)考查了數(shù)列的求值，不等式的求解，綜合性比較強．