（2012•廣州一模）已知
e1
=(
3
，-1)，
e2
=(
1
2
，
3
2
)，若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
，
b
=-k•
e1
+t•
e2
，若
a
⊥
b
，則實(shí)數(shù)k和t滿足的一個(gè)關(guān)系式是
t3-3t-4k=0
t3-3t-4k=0
，
k+t2
t
的最小值為
-
7
4
-
7
4
．
分析：利用題設(shè)條件，先求出向量
a
和
b
，再由
a
⊥
b
，利用
a
•
b
=0，得到實(shí)數(shù)k和t滿足的一個(gè)關(guān)系式；由t3-3t-4k=0，得到k=
t3-3t
4
，代入
k+t2
t
，得到以t為自變量的二次函數(shù)，利用配方法能求出
k+t2
t
的最小值．
解答：解：∵
e1
=(
3
，-1)，
e2
=(
1
2
，
3
2
)，
∴若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
=（
3
，-1）+（
1
2
t2-
3
2
，
3
2
t2-
3
3
2
）=（
1
2
t2-
3
2
+
3
，
3
2
t2-
3
3
2
-1），
b
=-k•
e1
+t•
e2
=(-
3
k，k)+（
1
2
t，
3
2
t）=（
1
2
t-
3
k，
3
2
t+k），
∵
a
⊥
b
，
∴
a
•
b
=（
1
2
t2-
3
2
+
3
）•（
1
2
t-
3
k）+（
3
2
t2-
3
3
2
-1）•（
3
2
t+k）
=
1
4
t3-
3
4
t+
3
2
t-
3
2
kt2+
3
3
2
k-3k+
3
4
t3-
9
4
t-
3
2
t+
3
2
kt2-
3
3
2
k-k
=t3-3t-4k=0，
∵t3-3t-4k=0，
∴k=
t3-3t
4
，
∴
k+t2
t
=
t3-3t
4
+t2
t
=
1
4
t2+t-
3
4
=
1
4
(t+2)2-
7
4
，
∴
k+t2
t
的最小值為-
7
4
．
故答案為：t3-3t-4k=0，-
7
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量垂直關(guān)系的應(yīng)用，計(jì)算繁瑣，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意換無(wú)法和配方法的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以a表示．已知甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），gn(x)=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
（n∈N*）．
（1）證明：f（x）≥g1（x）；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，比較f（x）與gn（x）的大小，并說(shuō)明理由；
（3）證明：1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)n≤gn(1)＜e（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣州一模）已知平面向量
a
=(1，3)，
b
=(-3，x)，且
a
∥
b
，則
a
•
b
=（　�。�

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