Question

如圖所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4．(1)求證：AC⊥BC₁；(2)在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，確定D點(diǎn)位置并說(shuō)明理由，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 　　則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)． 　　(1)∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，∴·＝0，∴⊥，∴AC⊥BC1． 　　(2)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得AC1⊥CD，則＝λ＝ 　　(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，則D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)．由于＝(－3，0，4)，且AC1⊥CD，所以－9＋9λ＝0得λ＝1，所以在AB上存在點(diǎn)D使得AC1⊥CD，且這時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合． 　　(3)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D使得AC1∥平面CDB1，則＝λ＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，則D(3－3λ，4λ，0)，＝(3－3λ，4λ－4，－4)，又＝(0，－4，－4)，＝(－3，0，4)，AC1∥平面CDB1，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使＝m＋n成立，∴m(3－3λ)＝－3，m(4λ－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，所以λ＝，所以在AB上存在點(diǎn)D使得AC1∥平面CDB1，且D為AB的中點(diǎn)．