Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e其中n≥2，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，從而當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1．令x=1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），則ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

，由此可證得結(jié)論．

解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
（2）證明：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1．
令x=1+

1

n2

（n≥2，n∈N^*），則ln(1+

1

n2

)＜

1

n2

．
所以當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n-1)

=1-

1

n

＜1，
即ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜1，
∴(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e．    …14分．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是求得導(dǎo)函數(shù)，利用f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．