Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）．…Pn(an，bn)(n∈N*)都在函數(shù)y=1og

1

2

x的圖象上．
（1）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是Sn=1-2-n，過(guò)點(diǎn)P_n，P_n+1的值線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積為c_n，求最小的實(shí)數(shù)t使c_n≤t對(duì)n∈N^*恒成立；
（3）若數(shù)列{b_n}為由（2）中{a_n}得到的數(shù)列，在b_k與b_k+1之間插入3^k-1（k∈N^*）個(gè)3，得一新數(shù)列{d_n}，問(wèn)是否存在這樣的正整數(shù)m，使數(shù)列{d_n}的前m項(xiàng)的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）先確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得直線方程，由此可求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，利用各項(xiàng)依次單調(diào)遞減，可求最小的實(shí)數(shù)t；
（3）求出數(shù)列{d_n}中，b_k（含b_k項(xiàng)）前的所有項(xiàng)的和，由此可求m的值．

解答：（1）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則b_n+1-b_n=d對(duì)n∈N^*恒成立，…（1分）
依題意bn=log

1

2

an，an=(

1

2

)bn，…（2分）
所以

an+1

an

=(

1

2

)bn+1-bn=(

1

2

)d是定值，…（3分）
從而數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．                                 …（4分）
（2）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(

1

2

)n，n=1也適合此式，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=(

1

2

)n．                        …（5分）
由bn=log

1

2

an，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=n，…（6分）
所以Pn(

1

2n

，n)，Pn+1(

1

2n+1

，n+1)．
過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程是：

y-n

(n+1)-n

=

x- 1 2n

1 2n+1 - 1 2n

，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是An(

n+2

2n+1

，0)和B_n（0，n+2）．…（7分）
∴cn=

1

2

×OAn×OBn=

(n+2)2

2n+2

，…（8分）
由于cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

2(n+2)2-(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0…（9分）
即數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)依次單調(diào)遞減，所以t≥c1=

9

8

．                 …（10分）
（3）解：數(shù)列{d_n}中，b_k（含b_k項(xiàng)）前的所有項(xiàng)的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

…（11分）
當(dāng)k=7時(shí)，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，…（12分）
當(dāng)k=8時(shí)，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008，
又因?yàn)?008-1120=888=296×3，是3的倍數(shù)，故存在這樣的m，使得S_m=2008，…（13分）
此時(shí)m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．                 …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、直線方程與不等式等知識(shí)，考查化歸、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力和綜合應(yīng)用能力．