Question

已知雙曲線W：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點N（0，b），右頂點是M，且•=-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點Q（0，-2）的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點，若點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用•=-1，可得•=a²-ac=-1，根據(jù)∠NMF₂=120°，可得c=2a，由此可求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，利用直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點，確定k的范圍，根據(jù)點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，可得＞0，由此可得得實數(shù)k的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（0，b），F(xiàn)₂（c，0），
∴•=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，∴∠NMF₁=60°，∴b=a，∴c²-a²=3a²，∴c=2a
∴a=1，b=，
∴雙曲線的方程為．（4分）
（Ⅱ）由題知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為k（k≠0），直線l：y=kx-2，代入雙曲線方程，消去y可得
（3-k²）x²+4kx-7=0，（6分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則，解得．①（8分）
∵點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，則＞0，（9分）
∴=（x₁-7，y₁）•（x₂-7，y₂）=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）×-（7+2k）×+53=＞0
∴k＞2  ②（11分）
由①、②得實數(shù)k的范圍是（2，）．（12分）
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查向量知識的運用，屬于中檔題．