Question

23、在矩形紙片內(nèi)取n（n∈N^*）個(gè)點(diǎn)，連同矩形的4個(gè)頂點(diǎn)共（n+4）個(gè)點(diǎn)，這（n+4）個(gè)點(diǎn)中無三點(diǎn)同在一直線上，以這些點(diǎn)作三角形的頂點(diǎn)，把矩形紙片剪成若干個(gè)三角形紙片，把這些三角形紙片的個(gè)數(shù)記為a_n．
（1）求a₁，a₂．
（2）求數(shù)列{a_n}的遞推公式．
（3）根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由題意知a₁=4，a₂=6．
（2）由題意可知每增加1個(gè)點(diǎn)A_i剪成的三角形紙層實(shí)際增加2個(gè)，由此可知a_n=a_n-1+2（n≥2）．
（3） 把n=1，2，3，4，5，6分別代入a_n=a_n-1+2（n≥2），可以求出數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)．

解答：解：（1）a₁=4，a₂=6
（2）因?yàn)檫@n+4個(gè)點(diǎn)中無三點(diǎn)共線，所以每增加1個(gè)點(diǎn)A_i（如圖，點(diǎn)A_i必在某一個(gè)三角形內(nèi)）剪成的三角形紙層新增3個(gè)（圖中的1，2，3）但減少了原來的1個(gè)，實(shí)際增加2個(gè)，所以的遞推公式是a_n=a_n-1+2（n≥2）．
（3） a₁=4，a₂=a₁+2=4+2=6，
a₃=a₂+2=6+2=8
a₄=a₃+2=8+2=10
a₅=a₄+2=10+2=12
a₆=a₅+2=12+2=14

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意觀察分析能力和歸納總結(jié)能力的培養(yǎng)．