Question

已知：f（x）=log₃

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在實數(shù)a，b，使f（x）同時滿足下列三個條件：
（1）在（0，1]上是減函數(shù)，
（2）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
（3）f（x）的最小值是1．
若存在，求出a、b；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由題意可得log₃

1+a+b

1

=1，解得a+b=2①，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，由f（x₁）＞f（x₂）可得b≥1，同理可得b≤1，進而b=1，代入①式可得a值．

解答：解：∵f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴x=1時，f（x）取最小值1，即log₃

1+a+b

1

=1，解得a+b=2，①
設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，則f（x₁）＞f（x₂），即

x12+ax1+b

x1

＞

x22+ax2+b

x2

恒成立，
移項通分并化簡可得

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0恒成立，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴x₁x₂-b＜0恒成立，∴b≥1，
設(shè)1≤x₃＜x₄，則f（x₃）＜f（x₄）恒成立，即

(x3-x4)(x3x4-b)

x3x4

＜0恒成立，
∵x₃-x₄＜0，x₃x₄＞0，∴x₃x₄-b＞0恒成立，∴b≤1，
綜上可得b=1，代入①式可得a=1，
故存在a=b=1滿足題意．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，涉及恒成立問題，屬中檔題．