Question

已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證PB⊥平面AEF，只要證PB垂直于平面AEF內(nèi)的兩條相交直線即可，可轉(zhuǎn)化為證明PB垂直于AE，可證AE垂直于平面PBC，結(jié)合已知條件，利用線面垂直的判定進行證明；
（Ⅱ）以A為坐標原點，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，然后利用平面法向量所成的角求二面角的平面角．

解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC，
而AE?PAC，∴BC⊥AE，又PA=AC，點E是PC的中點，∴AE⊥PC，
又AE⊥BC，BC∩PC=C，∴AE⊥面PBC，而PB?面PBC，AE⊥PB，又EF⊥PB，AE⊥BP，AE∩EF=E，∴PB⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：以A為坐標原點，AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
∵PA=AC=BC=1，則A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0）．

AB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，0，0)，

PB

=(1，1，-1)．
設平面PAB的一個法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則由

m • AB =0 m • PB =0

，得

x1+y1=0 x1+y1-z1=0

，取y₁=-1，得x₁=1，z₁=0，
∴

m

=(1，-1，0)．
再設平面PBC的一個法向量為

n

=(x2，y2，z2)，
則由

n • PB =0 n • BC =0

，得

x2+y2-z2=0 -x2=0

，取z₂=1，得y₂=1，
∴

n

=(0，1，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

．
∴二面角A-PB-C的大小為60°．

點評：本題考查了線面垂直的判定，考查了利用平面法向量求二面角的平面角，考查了學生的空間想象能力和計算能力，是中檔題．