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7.已知函數(shù)f(x)=1+kxlnx+1,其中k∈R.
(Ⅰ)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式xf(x)>x+1對(duì)任意x∈(-1,0)∪(0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),不等式xf(x)>x+1,化為k>x+1lnx+1xx2,可令g(x)=x+1lnx+1xx2,再將g(x)與12比較,運(yùn)用單調(diào)性即可判斷;同樣討論當(dāng)-1<x<0時(shí),可得k<x+1lnx+1xx2,運(yùn)用單調(diào)性即可判斷.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)k=1時(shí),f(x)=x+1lnx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=lnx+11lnx+12,
由f′(x)>0,可得x>e-1;由f′(x)<0,可得-1<x<0或0<x<e-1;
則f(x)的增區(qū)間為(e-1,+∞);減區(qū)間為(-1,0),(0,e-1);
(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),不等式xf(x)>x+1,
化為k>x+1lnx+1xx2,
可令g(x)=x+1lnx+1xx2,
由g(x)-12=2x+1lnx+12xx22x2=2x+1lnx+1x+12+12x2,
由y=2(x+1)ln(x+1)-(x+1)2+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2[ln(x+1)+1]-2(x+1)
=2[ln(x+1)-x],
由y=ln(x+1)-x的導(dǎo)數(shù)為y′=1x+1-1=xx+1<0,
則x>0時(shí),y=ln(x+1)-x遞減,
可得ln(x+1)-x<0,
即y=2(x+1)ln(x+1)-(x+1)2+1在(0,+∞)遞減,
可得g(x)-12<0,
則k≥12;
當(dāng)-1<x<0,可得k<x+1lnx+1xx2
由g(x)-12=2x+1lnx+12xx22x2=2x+1lnx+1x+12+12x2,
由y=2(x+1)ln(x+1)-(x+1)2+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2[ln(x+1)+1]-2(x+1)
=2[ln(x+1)-x],
由y=ln(x+1)-x的導(dǎo)數(shù)為y′=1x+1-1=xx+1>0,
則-1<x<0時(shí),y=ln(x+1)-x遞增,
可得ln(x+1)-x<0,
即y=2(x+1)ln(x+1)-(x+1)2+1在(-1,0)遞減,
可得g(x)-12<0,即g(x)<12,
則k≤12
綜上可得實(shí)數(shù)k的取值范圍為{12}.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù),考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于難題.

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