Question

已知極坐標(biāo)系下曲線(xiàn)C的方程為ρ=2cosθ+4sinθ，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

2

，

π

4

)，傾斜角α=

π

3

．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l在相應(yīng)直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)l與曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及斜率，進(jìn)而求出其參數(shù)方程；
（Ⅱ）先求出圓C的直角坐標(biāo)方程，再把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入即可求出．

解答：解：（Ⅰ）∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(

2

，

π

4

)，∴x=

2

cos

π

2

=1，y=

2

sin

π

4

=1，∴點(diǎn)P（1，1）．
∵直線(xiàn)l的傾斜角α=

π

3

，∴斜率k=tan

π

3

=

3

．
∴直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+ 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t為參數(shù))．
（Ⅱ）∵曲線(xiàn)C的方程為ρ=2cosθ+4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=2x+4y，
∴圓C：（x-1）²+（y-2）²=5，
把直線(xiàn)l的參數(shù)方程

x=1+ 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t為參數(shù))代入圓的方程得
t2-

3

t-4=0，
∴t₁t₂=-4．
∴|t₁t₂|=4即為點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式及參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．