已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=18;數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Tn,且Tn+
12
bn=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(3)記cn=an•bn,求{cn}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(1)設(shè)an的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式根據(jù)a2=6,a5=18可求得a1和d,進(jìn)而可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)先看當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)Tn-Tn-1=bn,可得bn與bn-1的關(guān)系式整理的bn=
1
3
bn-1
,進(jìn)而可知為等比數(shù)列,最后驗(yàn)證n=1時(shí),也成立.原式得證.
(3)由(2)可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得{cn}的通項(xiàng)公式.?dāng)?shù)列{cn}由等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成,進(jìn)而可用錯(cuò)位將減法求和.
解答:解:(1)設(shè)an的公差為d,則:a2=a1+d,a5=a1+4d,
∵a2=6,a5=18,∴
a1+d=6
a1+4d=18
,∴a1=2,d=4.
∴an=2+4(n-1)=4n-2.
(2)當(dāng)n=1時(shí),b1=T1,由T1+
1
2
b1=1
,得b1=
2
3

當(dāng)n≥2時(shí),∵Tn=1-
1
2
bn
,Tn-1=1-
1
2
bn-1

Tn-Tn-1=
1
2
(bn-1-bn)
,即bn=
1
2
(bn-1-bn)

bn=
1
3
bn-1

bn是以
2
3
為首項(xiàng),
1
3
為公比的等比數(shù)列.
(3)由(2)可知:bn=
2
3
(
1
3
)
n-1
=2•(
1
3
)
n

cn=anbn=(4n-2)•2•(
1
3
n
=(8n-4)•(
1
3
)
n

Sn=c1+c2+…cn-1+cn=
1
3
+12×(
1
3
)
2
+…+(8n-12)×(
1
3
)
n-1
+(8n-4)×(
1
3
)
n

∴.
1
3
Sn=4×(
1
3
)
2
+12×(
1
3
)
3
+…
+(8n-12)×(
1
3
)
n
+(8n-4)×(
1
3
)
n+1

Sn-
1
3
Sn=
2
3
Sn
=
1
3
+8×(
1
3
)
2
+8×(
1
3
)
3
+…+
(
1
3
)
n
-(8n-4)×(
1
3
)
n+1

=
4
3
+8×
(
1
3
)
2
•[1-(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-(8n-4)×(
1
3
)
n+1

=
8
3
-4×(
1
3
)
n
-(8n-4)×(
1
3
)
n+1

Sn=4-4(n+1)•(
1
3
)
n
點(diǎn)評:本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問題.當(dāng)出現(xiàn)由等比數(shù)列和等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí),一般采用錯(cuò)位相減法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義一個(gè)“等積數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它后一項(xiàng)的積都是同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫“等積數(shù)列”,這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為:
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在一個(gè)數(shù)列中,如果?n∈N*,都有an•an+1•an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=3,公積為27,則a1+a2+a3+…+a18=
78
78

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定義“等積數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一個(gè)項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù),那末這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積,則T2011=
51006
2
51006
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們對數(shù)列作如下定義,如果?n∈N*,都有anan+1an+2=k(k為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=1,a2=2,公積為6,則a1+a2+a3+…+a9=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列的定義為:在一個(gè)數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,如果每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公差.
(1)類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義;
(2)已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,求 a18的值,并猜出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式(不要求證明).

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