Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，$\frac{S_n}{n}={a_n}-n+1$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)log₃b_n=log₃a_n+a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：S_n=na_n-n（n-1），當n≥2時，S_n-1=（n-1），a_n-1-（n-1）（n-2），由a_n=S_n-S_n-1，整理得：a_n-a_n-1=2，數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知：a_n=log₃a_n-log₃b_n=log₃$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=${3}^{{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{3}$•（2n-1）•9ⁿ，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由題意可知：$\frac{S_n}{n}={a_n}-n+1$，S_n=na_n-n（n-1），
當n≥2時，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
a_n=S_n-S_n-1=na_n-n（n-1）-（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），
=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1），
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（2）log₃b_n=log₃a_n+a_n，
∴a_n=log₃a_n-log₃b_n=log₃$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=${3}^{{a}_{n}}$，
∴b_n=a_n•${3}^{{a}_{n}}$=（2n-1）•3^2n-1=$\frac{1}{3}$•（2n-1）•9ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{1}{3}$[9+3×9²+5×9³+…+（2n-1）9ⁿ]，
∴9T_n=$\frac{1}{3}$[9²+3×9³+5×9⁴+…+（2n-3）9ⁿ+（2n-1）9ⁿ⁺¹]，
∴-8T_n=$\frac{1}{3}$[9+2（9²+9³+9⁴+…+（9ⁿ）-（2n-1）9ⁿ⁺¹]，
=$\frac{1}{3}$[2×$\frac{9×（1-{9}^{n}）}{9-1}$-9-（2n-1）•9ⁿ⁺¹]，
=$\frac{5-8n}{12}$×9ⁿ⁺¹-$\frac{15}{4}$，
∴T_n=$\frac{8n-5}{96}$9ⁿ⁺¹+$\frac{15}{32}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=$\frac{8n-5}{96}$9ⁿ⁺¹+$\frac{15}{32}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的通項公式，“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．