Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑． 如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E為PC中點，點F在PB上，且PB⊥平面DEF，連接BD，BE．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；
（Ⅲ）已知AD=2， ，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為PD⊥面ABCD，BC面ABCD，所以BC⊥PD．
因為四邊形ABCD為矩形，
所以BC⊥DC．PD∩DC=D，
所以BC⊥面PDC．DE面PDC，DE⊥BC，
在△PDC中，PD=DC，E為PC中點，
所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，
所以DE⊥面PBC．
解：（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑，
其中 ， ．
（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），A（2，0，0）， ， ， ．
設 ，則 ．DF⊥PB得 ，解得 ．
所以 ．
設平面FDA的法向量 ，
則 ，令z=1得x=0，y=﹣3．
平面FDA的法向量 ，
平面BDA的法向量 ，
， ．
二面角F﹣AD﹣B的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出BC⊥PD．BC⊥DC，從而BC⊥面PDC，進而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能證明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面體DBEF是鱉臑， ， ．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．