Question

拋物線有光學(xué)性質(zhì)，從焦點(diǎn)出發(fā)的光經(jīng)拋物線反射后沿平行于拋物線的對(duì)稱軸方向射出，今有拋物線y²=2px（p＞0），一光源在點(diǎn)A（6，4）處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射向拋物線上的B點(diǎn)，反射后，又射向拋物線上的C點(diǎn)，再反射后沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向射出，途中遇到直線l：x-y-7=0上的點(diǎn)D，再反射后又射回到A點(diǎn)，如圖所示，則此拋物線的方程為（　　）

• A、y²=2x
• B、y²=4x
• C、y²=8x
• D、y²=16x

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：首先，根據(jù)光線CD經(jīng)直線l反射后又射向A點(diǎn)，得到直線CD與直線AD關(guān)于直線l對(duì)稱．求解點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′（11，-1），然后，得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，最后，確定p=2，從而得到其拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：∵光線CD經(jīng)直線l反射后又射向A點(diǎn)，
∴直線CD與直線AD關(guān)于直線l對(duì)稱．
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′（x′，y′），
∴

y′-4 x′-6 •1=1 x′+6 2 - y′+4 2 -7=0

，
∴

x′+y′-10=0 x′-y′-12=0

，
∴

x′=11 y′=-1

，
∴A′（11，-1），
∴直線CD的方程為y=-1，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-1，
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，
∴1×4=p²，
∴p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=4x，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．